VT 2009 uppgift 22
VT 2009 uppgift 22
Hur närmar man sig en sådan här uppgift? Jag försökte sätta in lite random siffror, och gissade därefter D, vilket är rätt. Men hur kan man vara säker på detta?22.
0 < z < y
Är (x + y)/z > (x + z)/y?
(1) x > y
(2) x > 0
Tillräcklig information för lösningen erhålles
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
Re: VT 2009 uppgift 22
Lite hjälp här skulle uppskattas enormt! Eller tips på var man kan lära sig den här typen av matematik.
Re: VT 2009 uppgift 22
Då man vet att z och y är positiva (från olikheten 0<z<y) så kan man multiplicera med zy på bägge sidor (utan att olikhetstecknet byter håll), så får man ett enklare uttryck att analysera:
y(x+y)>z(x+z)
Från påstående (1) får vi reda på att x är större än både z och y (således också positivt).
Då kan man titta på de bägge produkterna:
0<z<y<x -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)<(x+x)
Man ser då att (x+y)>(x+z)
Vi vet också att y>z.
Alltså; produkten i vänsterledet är produkten av två tal som båda är större än de tal som multipliceras ihop i högerledet.
-----------
I påstående (2) får vi reda på att x kan va vilket positivt tal som helst, men även 0.
Låter vi x=0; y(0+y)>z(0+z)
--> yy>zz {y>z:från grundpåståendet}; olikheten stämmer.
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}
Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz
Vet inte om det var det smidigaste sättet att göra det på. Man behöver ju inte göra alla jämförelser, utan man ser väl ganska snabbt vad som gäller.
EDIT: Såg att x var skilt från noll i påstående (2). Så man behöver inte titta på när x=0...
y(x+y)>z(x+z)
Från påstående (1) får vi reda på att x är större än både z och y (således också positivt).
Då kan man titta på de bägge produkterna:
0<z<y<x -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)<(x+x)
Man ser då att (x+y)>(x+z)
Vi vet också att y>z.
Alltså; produkten i vänsterledet är produkten av två tal som båda är större än de tal som multipliceras ihop i högerledet.
-----------
I påstående (2) får vi reda på att x kan va vilket positivt tal som helst, men även 0.
Låter vi x=0; y(0+y)>z(0+z)
--> yy>zz {y>z:från grundpåståendet}; olikheten stämmer.
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}
Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz
Vet inte om det var det smidigaste sättet att göra det på. Man behöver ju inte göra alla jämförelser, utan man ser väl ganska snabbt vad som gäller.
EDIT: Såg att x var skilt från noll i påstående (2). Så man behöver inte titta på när x=0...
-
- Newbie-postare
- Inlägg: 64
- Blev medlem: tor 26 nov, 2009 16:32
Re: VT 2009 uppgift 22
Tack för förklaringen MichaelRP, men jag har lite svårt att förstå vad du gjorde i tvåan. Någon som känner ett kall att förklara på en tioårings nivå?
Re: VT 2009 uppgift 22
Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}
Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.
Vi vet från påstående (1) att;
0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)
Man ser då att (x+y)>(x+z)
Vi vet även från grundinfo att;
0 < z < y
Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]
Re: VT 2009 uppgift 22
Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?MichaelRP skrev:Man kan även utgå från den här olikheten y(x+y)>z(x+z) och jämföra produkterna där.MichaelRP skrev:
Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz -->Kommer från y(x+y)>z(x+z)
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}
Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz --> Genom en jämförelse av produkterna på båda sidor i den här olikheten yx+yy>zx+zz, så ser man att båda produkerna i vänsterledet är större än motsvarande i högerledet. Vilket också ger att summan av dessa produkter är större än summan av produkterna i högerledet, alltså är olikheten sann.
Vi vet från påstående (1) att;
0<z<y -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)
Man ser då att (x+y)>(x+z)
Vi vet även från grundinfo att;
0 < z < y
Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]
Re: VT 2009 uppgift 22
Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...Flow91 skrev:MichaelRP skrev:Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?MichaelRP skrev:
[Klipp]
Tittar vi på y(x+y)>z(x+z) så ser vi även här att produkten i högerledet är större än produkten i vänsterledet [y är större än z, och (x+y) är större än (x+z)]
Re: VT 2009 uppgift 22
Hihi, gör inget! Önskar att jag var så uppmärksam på det riktiga provet bara. ;P Bra lösning btw!MichaelRP skrev:Yes, precis. Ibland skriver jag inte vad jag menar...Flow91 skrev:MichaelRP skrev:
Du menar väl att produkten i vänstra ledet är större än den högra? Eller misstar jag mig fel?
Re: VT 2009 uppgift 22
Hej!
Se min lösning här: http://www.matteboken.se/?valdSida=nogD ... rs=Nog_Dtk
Kan vara bra ibland att se flera alternativa lösningar.
/Tomas
Se min lösning här: http://www.matteboken.se/?valdSida=nogD ... rs=Nog_Dtk
Kan vara bra ibland att se flera alternativa lösningar.
/Tomas
Re: VT 2009 uppgift 22
Nu kanske jag tänker fel men är inte uppgiften mycket lättare än den ser ut? Svar ska vara D.
"Är (x + y)/z > (x + z)/y ?"
Om man först innan man tittar på påståendena bortser från x så blir det y/z > z/y vilket är självklart eftersom att y > z och båda är positiva tal (0 < z < y).
(1) säger att x > y. Ja men det är väl självklart då att olikheten fortfarande stämmer? Adderar du ett positivt tal till y/z och samma heltal till z/y så kommer y/z fortfarande vara störst eftersom att det var störst från början innan additionen.
(2) säger att x > 0. Samma sak. Spelar ingen roll om x är 1 eller 1 000 000.
Om man provar sätta värden. vi säger att z = z och y = z + 1
(z + 1)/z är större än z/(z + 1) eftersom att z är ett positivt tal. (z + 1 + 1)/z är större än z/(z + 1 + 1), samma sak om man ersätter ettan med 1 000 000.
EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?
"Är (x + y)/z > (x + z)/y ?"
Om man först innan man tittar på påståendena bortser från x så blir det y/z > z/y vilket är självklart eftersom att y > z och båda är positiva tal (0 < z < y).
(1) säger att x > y. Ja men det är väl självklart då att olikheten fortfarande stämmer? Adderar du ett positivt tal till y/z och samma heltal till z/y så kommer y/z fortfarande vara störst eftersom att det var störst från början innan additionen.
(2) säger att x > 0. Samma sak. Spelar ingen roll om x är 1 eller 1 000 000.
Om man provar sätta värden. vi säger att z = z och y = z + 1
(z + 1)/z är större än z/(z + 1) eftersom att z är ett positivt tal. (z + 1 + 1)/z är större än z/(z + 1 + 1), samma sak om man ersätter ettan med 1 000 000.
EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?
Re: VT 2009 uppgift 22
Är inte det här mer filosofi än matematik?Angor skrev:EDIT: Tänk om x = oändligheten? Oändligheten + y är fortfarande oändlighet. Oändligheten + z är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med y är fortfarande oändlighet. Oändlighet delat med z är fortfarande oändlighet. Då stämmer inte påståendet. Då borde väl svaret vara E?
Re: VT 2009 uppgift 22
I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?
Re: VT 2009 uppgift 22
Nej, man lär sig inte det i matte C. I matte E tror jag.simwes skrev:I vilken matte lär man sig om begreppet oändligheten? Det är väl inte förrän Matte C, eller?
Re: VT 2009 uppgift 22
en fråga:
Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?
Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?
Re: VT 2009 uppgift 22
Ju djupare man tänker, desto större chans är det att man förstår och kanske löser likanande tal?carmal skrev:en fråga:
Jag gjorde nyligenn 22:an och svarade D....den tekniken jag använde mig av var att sätta in lite olika tal somm följde dem olika påståendena och så kunde jag gansk snabbt se attt det blev D......men vissa inlägg här ser läskigt krångliga ut eller är det värt att tänka så?