Högskoleprovet

.eva · Blev medlem: Jan 07, 2009 Inlägg: 186 Bästa HP: 1,8 Ålder: 25

Citat:

22.
0 < z < y
Är (x + y)/z > (x + z)/y?

(1) x > y

(2) x > 0

Tillräcklig information för lösningen erhålles
A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena

Hur närmar man sig en sådan här uppgift? Jag försökte sätta in lite random siffror, och gissade därefter D, vilket är rätt. Men hur kan man vara säker på detta?

.eva · Blev medlem: Jan 07, 2009 Inlägg: 186 Bästa HP: 1,8 Ålder: 25

Lite hjälp här skulle uppskattas enormt! Eller tips på var man kan lära sig den här typen av matematik.

MichaelRP · Blev medlem: Aug 15, 2008 Inlägg: 30 Antal HP: 3 Bästa HP: 1.7 Ålder: 28

Då man vet att z och y är positiva (från olikheten 0<z<y) så kan man multiplicera med zy på bägge sidor (utan att olikhetstecknet byter håll), så får man ett enklare uttryck att analysera:

y(x+y)>z(x+z)

Från påstående (1) får vi reda på att x är större än både z och y (således också positivt).

Då kan man titta på de bägge produkterna:

0<z<y<x -->{+x i alla termer}--> (0+x)<(z+x)<(y+x)<(x+x)

Man ser då att (x+y)>(x+z)

Vi vet också att y>z.

Alltså; produkten i vänsterledet är produkten av två tal som båda är större än de tal som multipliceras ihop i högerledet.
-----------
I påstående (2) får vi reda på att x kan va vilket positivt tal som helst, men även 0.

Låter vi x=0; y(0+y)>z(0+z)
--> yy>zz {y>z:från grundpåståendet}; olikheten stämmer.

Låter vi x vara vilket positivt heltal (x) som helst:
--> yx+yy>zx+zz
{multiplicerar olikheten i grundpåståendet med x: 0x<zx<yx (x är positivt alltså vänder inte tecknet)}

Alltså; zx<yx och zz<yy --> yx+yy>zx+zz

Vet inte om det var det smidigaste sättet att göra det på. Man behöver ju inte göra alla jämförelser, utan man ser väl ganska snabbt vad som gäller.

EDIT: Såg att x var skilt från noll i påstående (2). Så man behöver inte titta på när x=0...

Högskoleprovet

VT 2009 uppgift 22